L'integrale indefinito di una funzione $f(x)$ è l'insieme di tutte le funzioni $F(x)$ tali che $F'(x) = f(x)$. Ogni funzione $F(x)$ che soddisfa questa condizione si chiama primitiva di $f(x)$. Poiché due primitive differiscono sempre per una costante additiva, scriviamo:
$$\int f(x)\dx = F(x) + c, \qquad \text{dove } F'(x) = f(x) \text{ e } c \in \mathbb{R}.$$La costante $c$ è la costante di integrazione e non va mai dimenticata.
L'integrale indefinito gode di due proprietà fondamentali che permettono di scomporre integrali complessi in integrali più semplici:
Una costante moltiplicativa può essere portata fuori dal segno di integrale.
L'integrale di una somma (o differenza) è la somma (o differenza) degli integrali.
Queste due proprietà si combinano: quando la funzione integranda è una combinazione lineare di funzioni note, si può spezzare l'integrale e portare fuori le costanti. Questo è quasi sempre il primo passo da compiere.
Questi sono gli integrali "di base" che vanno saputi a memoria. Ogni altro integrale, alla fine, si riconduce a uno di questi.
Questa formula funziona per qualsiasi esponente reale $\alpha$ diverso da $-1$: esponenti interi positivi, negativi, frazionari. La chiave è riconoscere che radici e reciproci sono potenze:
$$\sqrt{x} = x^{1/2}, \qquad \sqrt[3]{x} = x^{1/3}, \qquad \frac{1}{x^2} = x^{-2}, \qquad \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$$Per $\alpha = -1$ la formula della potenza non vale (si otterrebbe $\frac{x^0}{0}$, che non ha senso). Il caso $\alpha = -1$ ha la sua formula dedicata:
Il valore assoluto è indispensabile perché $\ln$ è definito solo per argomento positivo.
Quando il denominatore è un monomio, si può dividere ciascun termine del numeratore per il denominatore, trasformando la frazione in una somma di potenze:
$$\frac{2x - 1 + x^3}{x^2} = \frac{2x}{x^2} - \frac{1}{x^2} + \frac{x^3}{x^2} = \frac{2}{x} - x^{-2} + x$$| Funzione integranda | Primitiva | Condizioni |
|---|---|---|
| $x^{\alpha}$ | $\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c$ | $\alpha\neq -1$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x|+c$ | $x\neq 0$ |
| $e^x$ | $e^x+c$ | |
| $a^x$ | $\dfrac{a^x}{\ln a}+c$ | $a>0,\;a\neq 1$ |
| $\cos x$ | $\sin x+c$ | |
| $\sin x$ | $-\cos x+c$ | |
| $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $\tan x+c$ | |
| $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ | $-\cot x+c$ | |
| $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x+c$ | $|x|<1$ |
| $\dfrac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x+c$ |
Quando compaiono esponenziali con basi diverse, conviene riscrivere tutto in termini di un'unica base usando le proprietà delle potenze. Ad esempio $\dfrac{10^{x-1}}{5^x}$ si può riscrivere come $\dfrac{10^x \cdot 10^{-1}}{5^x} = \dfrac{1}{10}\!\left(\dfrac{10}{5}\right)^{\!x} = \dfrac{1}{10}\cdot 2^x$.
Ci sono due forme particolari di integrale il cui risultato è una funzione goniometrica inversa. Vanno riconosciute "a vista".
Quando al numeratore c'è $x^2$ e al denominatore $1+x^2$, il trucco è aggiungere e togliere 1 al numeratore per far apparire la forma nota:
$\arcsin$ → cerca la struttura $\dfrac{1}{\sqrt{1-(\ldots)^2}}$: radice quadrata al denominatore, con un "1 meno qualcosa al quadrato" sotto radice.
$\arctan$ → cerca la struttura $\dfrac{1}{1+(\ldots)^2}$: niente radice, "1 più qualcosa al quadrato" al denominatore.
Questa è la sezione più importante. La maggior parte degli integrali che incontrerai alla verifica sono integrali di funzioni composte. L'idea è questa: se riconosci nell'integranda il prodotto tra la derivata della funzione interna $f'(x)$ e una funzione esterna applicata a $f(x)$, puoi applicare direttamente la formula.
In pratica, il principio è l'inverso della regola della catena per le derivate. Se derivi $G(f(x))$ ottieni $G'(f(x))\cdot f'(x)$; dunque integrando $G'(f(x))\cdot f'(x)$ ritorni a $G(f(x))$.
Cerca una funzione elevata a potenza moltiplicata per la propria derivata. Se la derivata non compare esattamente ma compare un suo multiplo, porta fuori la costante.
Calcoliamo $\displaystyle\int \frac{\ln^2 x}{x}\dx$.
La funzione "interna" è $f(x)=\ln x$, la cui derivata è $f'(x)=\frac{1}{x}$. L'integranda si riscrive come:
$$\frac{\ln^2 x}{x} = (\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} = \bigl[f(x)\bigr]^2 \cdot f'(x)$$Applichiamo la formula con $\alpha=2$:
$$\int (\ln x)^2\cdot \frac{1}{x}\dx = \frac{(\ln x)^3}{3} + c$$Questa è la versione "composta" del caso $\alpha=-1$. Si riconosce quando il numeratore è la derivata del denominatore (o un suo multiplo).
Hai una frazione dove il numeratore è (un multiplo del)la derivata del denominatore. Controlla sempre: "la derivata del denominatore assomiglia al numeratore?"
Calcoliamo $\displaystyle\int \frac{12x}{2x^2+1}\dx$.
La derivata del denominatore $2x^2+1$ è $4x$. Il numeratore $12x$ è $3\cdot 4x$. Quindi:
$$\int \frac{12x}{2x^2+1}\dx = 3\int \frac{4x}{2x^2+1}\dx = 3\ln(2x^2+1) + c$$Nota: scriviamo $\ln(2x^2+1)$ senza valore assoluto perché $2x^2+1 > 0$ per ogni $x$.
Non confondere $\displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)}\dx$ (che dà $\ln|f(x)|+c$) con $\displaystyle\int \ln x\dx$ (che richiede l'integrazione per parti). La presenza di $\ln$ nel risultato non significa che $\ln$ fosse nell'integranda!
Hai un esponenziale $e^{\text{qualcosa}}$ moltiplicato per la derivata di quel "qualcosa".
Calcoliamo $\displaystyle\int e^{x^2-x}(4x-2)\dx$.
La funzione all'esponente è $f(x) = x^2 - x$, la cui derivata è $f'(x) = 2x - 1$. Il fattore $(4x-2) = 2(2x-1)$. Quindi:
$$\int e^{x^2-x}(4x-2)\dx = 2\int e^{x^2-x}(2x-1)\dx = 2\,e^{x^2-x} + c$$Calcoliamo $\displaystyle\int \frac{\sin(\ln x)}{x}\dx$.
La funzione interna è $f(x) = \ln x$, la cui derivata è $f'(x)=\frac{1}{x}$. L'integranda si legge come $f'(x)\cdot\sin f(x)$:
$$\int \frac{\sin(\ln x)}{x}\dx = \int \frac{1}{x}\cdot\sin(\ln x)\dx = -\cos(\ln x) + c$$Calcoliamo $\displaystyle\int \frac{1}{x + x\ln^2 x}\dx$.
Raccogliamo $x$ al denominatore:
$$\frac{1}{x + x\ln^2 x} = \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{1+\ln^2 x}$$Qui $f(x) = \ln x$ e $f'(x) = \frac{1}{x}$, con la struttura $\frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2}$:
$$\int \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{1+\ln^2 x}\dx = \arctan(\ln x) + c$$Tutte le formule per funzioni composte hanno la stessa struttura: si prende la formula dell'integrale elementare e si sostituisce $x$ con $f(x)$, a patto che nell'integranda compaia $f'(x)$ come fattore moltiplicativo.
| Integranda (con $f'(x)$ presente) | Primitiva |
|---|---|
| $f'(x)\cdot\bigl[f(x)\bigr]^{\alpha}$, $\;\alpha\neq -1$ | $\dfrac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c$ |
| $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ | $\ln|f(x)|+c$ |
| $f'(x)\cdot e^{f(x)}$ | $e^{f(x)}+c$ |
| $f'(x)\cdot a^{f(x)}$ | $\dfrac{a^{f(x)}}{\ln a}+c$ |
| $f'(x)\cdot\cos f(x)$ | $\sin f(x)+c$ |
| $f'(x)\cdot\sin f(x)$ | $-\cos f(x)+c$ |
| $\dfrac{f'(x)}{\cos^2 f(x)}$ | $\tan f(x)+c$ |
| $\dfrac{f'(x)}{\sin^2 f(x)}$ | $-\cot f(x)+c$ |
| $\dfrac{f'(x)}{\sqrt{1-[f(x)]^2}}$ | $\arcsin f(x)+c$ |
| $\dfrac{f'(x)}{1+[f(x)]^2}$ | $\arctan f(x)+c$ |
Quando l'integrale non rientra direttamente nelle forme composte (perché $f'(x)$ non compare come fattore), si può tentare un cambio di variabile: si pone $t = g(x)$, si calcola $dt = g'(x)\dx$, si esprime tutto in termini di $t$, si integra e infine si ritorna a $x$.
Se poniamo $t = g(x)$, allora $x = g^{-1}(t)$ e $dx = \frac{dt}{g'(x)}$. Si sostituisce nell'integrale, si risolve in $t$, e poi si rimette $g(x)$ al posto di $t$.
Calcoliamo $\displaystyle\int \frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+x)}\dx$.
Passo 1: La parte "scomoda" è $\sqrt{x}$. Poniamo $t = \sqrt{x}$, cioè $x = t^2$.
Passo 2: $dx = 2t\dt$.
Passo 3: Sostituiamo:
$$\int \frac{1}{2t\,(1+t^2)}\cdot 2t\dt = \int \frac{1}{1+t^2}\dt$$Passo 4: $= \arctan t + c$.
Passo 5: $= \arctan\sqrt{x} + c$.
$\sqrt{x}$ o $\sqrt[n]{x}$ nell'integranda → poni $t=\sqrt[n]{x}$, cioè $x = t^n$
$\sqrt{ax+b}$ → poni $t=\sqrt{ax+b}$, cioè $ax+b = t^2$
$e^x$ → poni $t = e^x$, $dx = \frac{dt}{t}$
Espressioni trigonometriche complesse → talvolta $t=\tan(x/2)$ (sostituzione universale)
Quando l'integranda è un prodotto di due funzioni che non rientra nelle forme composte, si usa l'integrazione per parti. La formula deriva dalla regola di derivazione del prodotto.
L'obiettivo è che il nuovo integrale $\int f'(x)\cdot g(x)\dx$ sia più semplice di quello di partenza.
Si sceglie come $f(x)$ (il fattore finito, che verrà derivato) la funzione che è più facile da derivare e il cui integrale non è necessario. L'ordine di priorità per la scelta di $f(x)$ è:
Logaritmi → Inverse trigonometriche → Algebriche (polinomi) → Trigonometriche → Esponsenziali
In pratica: se nell'integranda c'è $\ln x$, scegli $\ln x$ come $f(x)$. Se c'è un polinomio per un esponenziale, scegli il polinomio come $f(x)$.
Si sceglie come fattore differenziale $g'(x)\dx$ la funzione il cui integrale è facile da calcolare. Ad esempio, se hai $\frac{1}{x^2}$, la sua primitiva $g(x) = -\frac{1}{x}$ è semplice.
Calcoliamo $\displaystyle\int \frac{\ln x}{x^2}\dx$.
Analisi: L'integranda è $\ln x \cdot x^{-2}$. Non è un integrale composto (manca $\frac{1}{x}$ come fattore di $x^{-2}$ in modo utile). Serve l'integrazione per parti.
Scelta dei fattori:
$$f(x) = \ln x \;\Rightarrow\; f'(x)=\frac{1}{x} \qquad\qquad g'(x)=\frac{1}{x^2}=x^{-2} \;\Rightarrow\; g(x)=-\frac{1}{x}$$Applichiamo la formula:
$$\int \frac{\ln x}{x^2}\dx = \ln x\cdot\!\left(-\frac{1}{x}\right) - \int \frac{1}{x}\cdot\!\left(-\frac{1}{x}\right)\dx = -\frac{\ln x}{x} + \int \frac{1}{x^2}\dx$$ $$= -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + c = -\frac{1}{x}(\ln x + 1) + c$$L'integrazione per parti può essere applicata più volte di seguito. Ad esempio, $\int x^2 e^x\dx$ richiede due applicazioni successive.
In alcuni casi (ad esempio $\int e^x\sin x\dx$) l'integrale originale ricompare dopo due integrazioni per parti: si ottiene un'equazione in cui l'incognita è l'integrale stesso.
Quando l'integranda è una funzione razionale $\frac{N(x)}{D(x)}$ (rapporto di polinomi) e il grado del numeratore è inferiore a quello del denominatore, la strategia dipende dalla natura del denominatore.
Se $\deg(N) \geq \deg(D)$, bisogna prima eseguire la divisione tra polinomi, ottenendo un polinomio più una frazione con grado del numeratore inferiore a quello del denominatore.
Se il numeratore è (un multiplo del)la derivata del denominatore, si ricade nella forma $\frac{f'(x)}{f(x)}$:
Calcoliamo $\displaystyle\int \frac{6x^2+8x}{x^3+2x^2+3}\dx$.
La derivata del denominatore $x^3+2x^2+3$ è $3x^2+4x$. Il numeratore $6x^2+8x = 2(3x^2+4x)$. Quindi:
$$\int \frac{6x^2+8x}{x^3+2x^2+3}\dx = 2\int\frac{3x^2+4x}{x^3+2x^2+3}\dx = 2\ln|x^3+2x^2+3| + c$$Quando il denominatore è un polinomio di secondo grado $ax^2+bx+c$, la strategia dipende dal discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$.
Il denominatore ha due radici reali distinte $x_1, x_2$, quindi si fattorizza come $a(x-x_1)(x-x_2)$. Si scompone in frazioni parziali:
Si determinano $A$ e $B$ confrontando i coefficienti (o sostituendo $x=x_1$ e $x=x_2$).
Calcoliamo $\displaystyle\int \frac{x-1}{x^2+5x+6}\dx$.
Passo 1 — Fattorizzazione: $\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$. Le radici sono $x_1=-2$ e $x_2=-3$, quindi $x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$.
Passo 2 — Scomposizione:
$$\frac{x-1}{(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+3}$$Moltiplicando entrambi i membri per $(x+2)(x+3)$:
$$x-1 = A(x+3) + B(x+2) = (A+B)x + (3A+2B)$$Confrontando i coefficienti: $\begin{cases} A+B = 1 \\ 3A+2B=-1\end{cases}$ $\Rightarrow$ $A=-3,\; B=4$.
Passo 3 — Integrazione:
$$\int \frac{x-1}{x^2+5x+6}\dx = -3\int\frac{1}{x+2}\dx + 4\int\frac{1}{x+3}\dx = -3\ln|x+2| + 4\ln|x+3| + c$$Il denominatore è un quadrato perfetto $(x-x_0)^2$. Si scompone come:
Calcoliamo $\displaystyle\int \frac{x+5}{x^2+6x+9}\dx$.
$\Delta=0$: $x^2+6x+9 = (x+3)^2$.
Scomposizione:
$$\frac{x+5}{(x+3)^2} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{(x+3)^2}$$ $$x+5 = A(x+3) + B \;\Rightarrow\; \begin{cases} A=1 \\ 3A+B=5\end{cases} \;\Rightarrow\; A=1,\; B=2$$Integrazione:
$$\int\!\left[\frac{1}{x+3} + \frac{2}{(x+3)^2}\right]\!dx = \ln|x+3| + 2\cdot\frac{(x+3)^{-1}}{-1} + c = \ln|x+3| - \frac{2}{x+3} + c$$Il denominatore non si fattorizza in fattori reali. Si usa il completamento del quadrato per ricondursi alla forma $\frac{1}{1+(\ldots)^2}$ che dà $\arctan$.
Si riconosce poi la forma $\frac{1}{u^2+k^2}=\frac{1}{k^2}\cdot\frac{1}{(u/k)^2+1}$ che integrata dà $\frac{1}{k}\arctan\frac{u}{k}+c$.
Calcoliamo $\displaystyle\int \frac{1}{x^2-6x+10}\dx$.
Discriminante: $\Delta = 36 - 40 = -4 < 0$.
Completamento del quadrato:
$$x^2 - 6x + 10 = x^2 - 6x + 9 + 1 = (x-3)^2 + 1$$Integrazione: L'integrale diventa
$$\int \frac{1}{(x-3)^2+1}\dx = \arctan(x-3) + c$$Se il completamento dà $(x-h)^2 + k^2$ con $k\neq 1$:
$$\int \frac{1}{(x-h)^2+k^2}\dx = \frac{1}{k}\arctan\!\left(\frac{x-h}{k}\right) + c$$Di fronte a un integrale, segui questo percorso mentale per capire quale tecnica usare.
Riscrivere come potenza: $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$, $\;\frac{1}{x^n}=x^{-n}$.
Dividere termine a termine: $\frac{a+b+c}{x^k} = \frac{a}{x^k}+\frac{b}{x^k}+\frac{c}{x^k}$.
Aggiungere e togliere: $\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{x^2+1-1}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$.
Raccogliere a denominatore: $\frac{1}{x+x\ln^2 x} = \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{1+\ln^2 x}$.
Moltiplicare e dividere per una costante: Se nell'integranda compare $12x$ ma ti serve $4x$ (derivata del denominatore), scrivi $12x = 3\cdot 4x$ e porta il $3$ fuori dall'integrale.
Proprietà degli esponenziali: $\frac{a^{x+k}}{b^x} = a^k\cdot\left(\frac{a}{b}\right)^x$.
| Cosa vedi nell'integranda | Cosa pensare |
|---|---|
| $\frac{1}{\sqrt{1-(\ldots)^2}}$ | $\arcsin$ (controlla che ci sia $f'(x)$) |
| $\frac{1}{1+(\ldots)^2}$ | $\arctan$ (controlla che ci sia $f'(x)$) |
| $\frac{\text{numeratore}}{\text{denominatore}}$ con num $\approx$ $D'(x)$ | $\ln|D(x)|$ |
| $e^{g(x)}$ con $g'(x)$ presente | $e^{g(x)}+c$ |
| $[\text{funzione}]^n \cdot \text{sua derivata}$ | Potenza di funzione composta |
| $\ln x \cdot (\text{qualcosa})$ | Per parti, con $f(x)=\ln x$ |
| $x^n\cdot e^x$ o $x^n\cdot\sin x$ | Per parti (ripetute se $n>1$) |
| $\frac{P(x)}{Q(x)}$ di 2° grado | Frazioni parziali o completamento del quadrato |
| $\sqrt{x}$ o $\sqrt[n]{x}$ "fastidiosa" | Sostituzione $t=\sqrt[n]{x}$ |
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Divido termine a termine per $x^2$:
$$= \int\!\left(2x - 1 + 4x^{-2}\right)\dx = x^2 - x - \frac{4}{x} + c$$Espando il numeratore: $(x^2+1)^2 = x^4+2x^2+1$, poi divido per $x^3$:
$$= \int\!\left(x + 2x^{-1} + x^{-3}\right)\dx = \frac{x^2}{2} + 2\ln|x| - \frac{1}{2x^2} + c$$Divido termine a termine per $x$:
$$= \int\!\left(x^2 + 2 - \frac{1}{x}\right)\dx = \frac{x^3}{3} + 2x - \ln|x| + c$$Porto $\frac{1}{2}$ fuori e divido per $x$:
$$= \frac{1}{2}\int\!\left(3x - 1 + \frac{5}{x}\right)\dx = \frac{1}{2}\!\left(\frac{3x^2}{2} - x + 5\ln|x|\right) + c = \frac{3x^2}{4} - \frac{x}{2} + \frac{5}{2}\ln|x| + c$$Espando il numeratore: $(x-1)(x+2)=x^2+x-2$, poi divido per $x$:
$$= \int\!\left(x + 1 - \frac{2}{x}\right)\dx = \frac{x^2}{2} + x - 2\ln|x| + c$$Divido termine a termine per $x^2$:
$$= \int\!\left(x^2 - 3 + x^{-1} - x^{-2}\right)\dx = \frac{x^3}{3} - 3x + \ln|x| + \frac{1}{x} + c$$$\dfrac{6^x}{2^x} = \left(\dfrac{6}{2}\right)^{\!x} = 3^x$
$$= \frac{3^x}{\ln 3} + c$$$\dfrac{10^{x+2}}{5^x} = 10^2\cdot\left(\dfrac{10}{5}\right)^{\!x} = 100\cdot 2^x$
$$= 100\cdot\frac{2^x}{\ln 2} + c$$$\dfrac{e^{2x}-1}{e^x} = e^x - e^{-x}$
$$= e^x + e^{-x} + c$$Nota: $\int e^{-x}\dx = -e^{-x}+c$ (forma composta; qui $f(x)=-x$, $f'(x)=-1$)
$\dfrac{4^x+9^x}{6^x} = \left(\dfrac{4}{6}\right)^{\!x} + \left(\dfrac{9}{6}\right)^{\!x} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{\!x} + \left(\dfrac{3}{2}\right)^{\!x}$
$$= \frac{(2/3)^x}{\ln(2/3)} + \frac{(3/2)^x}{\ln(3/2)} + c$$Nota: $\ln(2/3) = -\ln(3/2)$, quindi si può anche scrivere $-\dfrac{(2/3)^x}{\ln(3/2)} + \dfrac{(3/2)^x}{\ln(3/2)} + c$.
Uso la formula $\sin^2\tfrac{x}{2} = \dfrac{1-\cos x}{2}$:
$$= \int \frac{1-\cos x}{2}\dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin x}{2} + c$$Uso $\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}$:
$$= \int \frac{1+\cos 2x}{2}\dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + c$$Nota: $\int \cos 2x\dx = \frac{\sin 2x}{2}+c$ (forma composta con $f(x)=2x$)
Uso $\sin x\cos x = \dfrac{\sin 2x}{2}$:
$$= \frac{1}{2}\int \sin 2x\dx = \frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) + c = -\frac{\cos 2x}{4} + c$$Alternativa: forma composta $\int \sin x \cdot \cos x\dx = \frac{\sin^2 x}{2}+c$ (con $f(x)=\sin x$, $f'(x)=\cos x$). Entrambe le risposte sono corrette (differiscono di una costante).
$\dfrac{1+\cos^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos^2 x} + 1$
$$= \tan x + x + c$$$\sin^2 x+\cos^2 x = 1$, quindi l'integrale è $\displaystyle\int \frac{1}{\sin^2 x}\dx$:
$$= -\cot x + c$$Uso $\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} - 1$:
$$= \int\!\left(\frac{1}{\cos^2 x} - 1\right)\dx = \tan x - x + c$$Separo la frazione:
$$\frac{1}{\cos^2 x\cdot\sin^2 x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x\cdot\sin^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x\cdot\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x}$$Per il primo termine uso $\dfrac{1}{\cos^2 x\cdot\sin^2 x} = \dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x\cdot\sin^2 x} = \dfrac{1}{\cos^2 x}+\dfrac{1}{\sin^2 x}$:
$$= \int\!\left(\frac{2}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x}\right)\dx = 2\tan x - \cot x + c$$Aggiungo e tolgo $1$ al numeratore: $3x^2 = 3(x^2+1) - 3$
$$= 3\int\frac{x^2+1}{1+x^2}\dx - 3\int\frac{1}{1+x^2}\dx = 3x - 3\arctan x + c$$Divido: $\dfrac{x^4}{1+x^2} = x^2 - 1 + \dfrac{1}{1+x^2}$ (divisione tra polinomi)
$$= \frac{x^3}{3} - x + \arctan x + c$$$2x^2 - 3 = 2(x^2+1) - 5$, quindi:
$$= \int\!\left(2 - \frac{5}{1+x^2}\right)\dx = 2x - 5\arctan x + c$$Per la seconda frazione: $\dfrac{x^3-x}{1+x^2} = \dfrac{x(x^2-1)}{1+x^2} = \dfrac{x(x^2+1) - 2x}{1+x^2} = x - \dfrac{2x}{1+x^2}$
Nota che $\dfrac{2x}{1+x^2}$ è della forma $\dfrac{f'}{f}$ con $f=1+x^2$, $f'=2x$, quindi integra come $\ln(1+x^2)$.
$$= \arcsin x + \frac{x^2}{2} - \ln(1+x^2) + c$$$f(x)=x^2+1$, $f'(x)=2x$. Forma immediata con $\alpha=3$:
$$= \frac{(x^2+1)^4}{4} + c$$$f(x)=\sin x$, $f'(x)=\cos x$, $\alpha=4$:
$$= \frac{\sin^5 x}{5} + c$$$f(x)=\ln x$, $f'(x)=\frac{1}{x}$, $\alpha=3$:
$$= \frac{(\ln x)^4}{4} + c$$$f(x)=x^2-3$, $f'(x)=2x$. Il fattore $6x = 3\cdot 2x$:
$$= 3\cdot\frac{(x^2-3)^3}{3} + c = (x^2-3)^3 + c$$$f(x)=\sin x$, $f'(x)=\cos x$, $\alpha=-\frac{1}{2}$ (poiché $\frac{1}{\sqrt{\sin x}} = (\sin x)^{-1/2}$):
$$= \frac{(\sin x)^{1/2}}{1/2} + c = 2\sqrt{\sin x} + c$$$f(x)=e^x+2$, $f'(x)=e^x$, $\alpha=-\frac{1}{3}$:
$$= \frac{(e^x+2)^{2/3}}{2/3} + c = \frac{3}{2}(e^x+2)^{2/3} + c$$$f(x)=x^3+1$, $f'(x)=3x^2$. Scrivo $x^2 = \frac{1}{3}\cdot 3x^2$:
$$= \frac{1}{3}\int (x^3+1)^{1/2}\cdot 3x^2\dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{(x^3+1)^{3/2}}{3/2} + c = \frac{2}{9}(x^3+1)^{3/2} + c$$$f(x)=\arctan x$, $f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$, $\alpha=1$:
$$= \frac{(\arctan x)^2}{2} + c$$$f(x)=x^2+5$, $f'(x)=2x$. Forma esatta:
$$= \ln(x^2+5) + c$$$f(x)=\sin x$, $f'(x)=\cos x$:
$$= \ln|\sin x| + c$$$f(x)=x^3-7$, $f'(x)=3x^2$:
$$= \ln|x^3-7| + c$$$f(x)=x^3+x^2+1$, $f'(x)=3x^2+2x$. Il numeratore è $2(3x^2+2x)$:
$$= 2\ln|x^3+x^2+1| + c$$$f(x)=e^x+3$, $f'(x)=e^x$:
$$= \ln(e^x+3) + c$$$f(x)=\ln x$, $f'(x)=\frac{1}{x}$. Riscrivo: $\frac{1}{x\ln x} = \frac{1/x}{\ln x} = \frac{f'(x)}{f(x)}$
$$= \ln|\ln x| + c$$Noto che la derivata di $x\sin x$ è $\sin x + x\cos x$. Il numeratore è $\sin x - x\cos x$, che non è direttamente $f'$. Separo:
$$\frac{\sin x - x\cos x}{x\sin x} = \frac{1}{x} - \frac{\cos x}{\sin x}$$ $$= \int\frac{1}{x}\dx - \int\frac{\cos x}{\sin x}\dx = \ln|x| - \ln|\sin x| + c = \ln\!\left|\frac{x}{\sin x}\right| + c$$$\tg x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$. Il numeratore $\sin x$ è $-(-\sin x) = -(cos x)'$:
$$\int \frac{\sin x}{\cos x}\dx = -\int\frac{-\sin x}{\cos x}\dx = -\ln|\cos x| + c$$$f(x)=x^2$, $f'(x)=2x$:
$$= e^{x^2} + c$$$f(x)=\sin x$, $f'(x)=\cos x$:
$$= e^{\sin x} + c$$$f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}$, $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$:
$$= e^{\sqrt{x}} + c$$$f(x)=x^3-x$, $f'(x)=3x^2-1$:
$$= e^{x^3-x} + c$$$f(x)=2x^3+1$, $f'(x)=6x^2$:
$$= e^{2x^3+1} + c$$$f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$, $f'(x)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$. Il fattore $\frac{1}{x^2} = -f'(x)$:
$$= -\int f'(x)\,e^{f(x)}\dx = -e^{1/x} + c$$$f(x)=\arctan x$, $f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$:
$$= e^{\arctan x} + c$$$f(x)=x^2+3x-1$, $f'(x)=2x+3$:
$$= e^{x^2+3x-1} + c$$$f(x)=x^2$, $f'(x)=2x$:
$$= \sin(x^2) + c$$$f(x)=3x+1$, $f'(x)=3$:
$$= \sin(3x+1) + c$$$f(x)=e^x$, $f'(x)=e^x$:
$$= -\cos(e^x) + c$$$f(x)=\ln x$, $f'(x)=\frac{1}{x}$:
$$= \sin(\ln x) + c$$$f(x)=x^4$, $f'(x)=4x^3$:
$$= -\cos(x^4) + c$$$f(x)=\sqrt{x}$, $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Scrivo $\frac{1}{\sqrt{x}} = 2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}$:
$$= -2\cos(\sqrt{x}) + c$$$f(x)=\sin x$, $f'(x)=\cos x$. Forma $\frac{f'(x)}{\cos^2(f(x))}$:
$$= \tan(\sin x) + c$$$f(x)=x^2+1$, $f'(x)=2x$. Scrivo $x=\frac{1}{2}\cdot 2x$:
$$= \frac{1}{2}\int 2x\cos(x^2+1)\dx = \frac{1}{2}\sin(x^2+1) + c$$$f(x)=x^2$, $f'(x)=2x$, $1+[f(x)]^2 = 1+x^4$:
$$= \arctan(x^2) + c$$$f(x)=e^x$, $f'(x)=e^x$, $1+[f(x)]^2=1+e^{2x}$:
$$= \arctan(e^x) + c$$$f(x)=x^3$, $f'(x)=3x^2$, $\sqrt{1-[f(x)]^2}=\sqrt{1-x^6}$:
$$= \arcsin(x^3) + c$$$f(x)=\ln x$, $f'(x)=\frac{1}{x}$:
$$= \arcsin(\ln x) + c$$$f(x)=\ln x$, $f'(x)=\frac{1}{x}$. Riscrivo: $\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{1+(\ln x)^2}$:
$$= \arctan(\ln x) + c$$$f(x)=\sin x$, $f'(x)=\cos x$. Nota: $1-\sin^2 x = \cos^2 x \geq 0$:
$$= \arcsin(\sin x) + c = x + c$$(oppure si accetta $\arcsin(\sin x)+c$; la forma semplificata è $x+c$)
Riconosco la forma $\frac{f'(x)}{f(x)}$ con $f(x)=\arctan x$, $f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$:
$$= \ln|\arctan x| + c$$Divido numeratore e denominatore per $e^{2x}$:
$$\frac{e^x(1+e^{2x})}{1+e^{4x}} = \frac{e^{-x}+e^{x}}{e^{-2x}+e^{2x}}$$In alternativa, pongo $u=e^x$: $\dfrac{u(1+u^2)}{1+u^4} = \dfrac{u+u^3}{1+u^4}$. La derivata di $1+u^4$ è $4u^3$, il numeratore è $u+u^3 = u(1+u^2)$ — non è $f'/f$. Proviamo con $\arctan$: $\dfrac{u}{1+u^4}+\dfrac{u^3}{1+u^4}$. Per il secondo: $f=u^2$, $f'=2u\cdot...$. Riscrivo: $\dfrac{e^x}{1+e^{4x}} = \dfrac{e^x}{1+(e^{2x})^2}$ (forma $\arctan$ con $f=e^{2x}$?) no, $f'=2e^{2x}$.
Percorso corretto: separo $\dfrac{e^x}{1+e^{4x}} + \dfrac{e^{3x}}{1+e^{4x}}$.
Primo: $f=e^{2x}$, $f'=2e^{2x}$; $\dfrac{e^x}{1+e^{4x}} = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2e^{2x}\cdot e^{-x}}{1+e^{4x}}$ — troppo complicato. Soluzione più lineare: $t=e^{2x}$, $dt=2e^{2x}dx$.
$\displaystyle\int\frac{e^x+e^{3x}}{1+e^{4x}}\dx$; sia $t=e^{2x}$, $dt=2e^{2x}dx=2t\,dx$, $dx=\frac{dt}{2t}$:
$$= \int\frac{t^{1/2}+t^{3/2}}{1+t^2}\cdot\frac{dt}{2t} = \frac{1}{2}\int\frac{t^{-1/2}+t^{1/2}}{1+t^2}dt$$Questo si complica. Riprendiamo: sia $u=e^x$, $du=e^x dx$, $dx=du/u$:
$$= \int\frac{u(1+u^2)}{1+u^4}\cdot\frac{du}{u} = \int\frac{1+u^2}{1+u^4}du$$$\dfrac{1+u^2}{1+u^4} = \dfrac{1+u^2}{(u^2-\sqrt{2}u+1)(u^2+\sqrt{2}u+1)}$ — frazioni parziali complesse. Alternativa: $\dfrac{1+1/u^2}{u^2+1/u^2} = \dfrac{1+1/u^2}{(u-1/u)^2+2}$; sia $v=u-1/u$, $dv=(1+1/u^2)du$:
$$= \int\frac{dv}{v^2+2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{v}{\sqrt{2}} + c = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{e^x-e^{-x}}{\sqrt{2}} + c$$Pongo $t=2x+1$, $dt=2\dx$, $\dx=\frac{dt}{2}$:
$$= \frac{1}{2}\int t^{1/2}\dt = \frac{1}{2}\cdot\frac{t^{3/2}}{3/2} + c = \frac{1}{3}(2x+1)^{3/2} + c$$Pongo $t=\sqrt{x}$, $x=t^2$, $\dx=2t\dt$:
$$= \int\frac{2t}{t+1}\dt = 2\int\!\left(1 - \frac{1}{t+1}\right)\dt = 2t - 2\ln|t+1| + c = 2\sqrt{x} - 2\ln(\sqrt{x}+1) + c$$Pongo $t=x^2+4$, $dt=2x\dx$:
$$= \frac{1}{2}\int t^{-1/2}\dt = \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{t} + c = \sqrt{x^2+4} + c$$Pongo $t=x+1$, $x=t-1$, $\dx=\dt$:
$$= \int(t-1)\sqrt{t}\dt = \int(t^{3/2}-t^{1/2})\dt = \frac{2}{5}t^{5/2} - \frac{2}{3}t^{3/2} + c = \frac{2}{5}(x+1)^{5/2} - \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + c$$Pongo $t=2x-1$, $dt=2\dx$, $\dx=\frac{dt}{2}$:
$$= \frac{1}{2}\int t^{-2/3}\dt = \frac{1}{2}\cdot\frac{t^{1/3}}{1/3} + c = \frac{3}{2}\sqrt[3]{2x-1} + c$$Pongo $t=\sqrt{x+2}$, $x+2=t^2$, $\dx=2t\dt$:
$$= \int\frac{2t}{1+t}\dt = 2\int\!\left(1-\frac{1}{1+t}\right)\dt = 2t - 2\ln|1+t| + c = 2\sqrt{x+2} - 2\ln(1+\sqrt{x+2}) + c$$Pongo $t=e^x$, $dt=e^x\dx$:
$$= \int\frac{dt}{1+t} = \ln(1+t) + c = \ln(1+e^x) + c$$Nota: questo è anche direttamente una forma $\frac{f'}{f}$ con $f=1+e^x$.
Completo il quadrato: $x^2+6x+10 = (x+3)^2+1$. Pongo $t=x+3$, $dt=\dx$:
$$= \int\frac{dt}{t^2+1} = \arctan t + c = \arctan(x+3) + c$$$f=x$, $g'=e^x$ $\Rightarrow$ $f'=1$, $g=e^x$:
$$= x\,e^x - \int e^x\dx = x\,e^x - e^x + c = (x-1)e^x + c$$$f=x$, $g'=\cos x$ $\Rightarrow$ $f'=1$, $g=\sin x$:
$$= x\sin x - \int\sin x\dx = x\sin x + \cos x + c$$$f=\ln x$, $g'=1$ $\Rightarrow$ $f'=\frac{1}{x}$, $g=x$:
$$= x\ln x - \int\frac{1}{x}\cdot x\dx = x\ln x - x + c$$$f=\ln x$, $g'=x^2$ $\Rightarrow$ $f'=\frac{1}{x}$, $g=\frac{x^3}{3}$:
$$= \frac{x^3}{3}\ln x - \int\frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x}\dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int x^2\dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + c$$Due applicazioni successive. Prima: $f=x^2$, $g'=e^x$:
$$= x^2 e^x - 2\int x\,e^x\dx$$Seconda ($\int x\,e^x\dx = (x-1)e^x+c$ da F13-es.1):
$$= x^2 e^x - 2(x-1)e^x + c = (x^2-2x+2)e^x + c$$$f=\arctan x$, $g'=1$ $\Rightarrow$ $f'=\frac{1}{1+x^2}$, $g=x$:
$$= x\arctan x - \int\frac{x}{1+x^2}\dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + c$$Sia $I=\int e^x\sin x\dx$. Prima applicazione ($f=\sin x$, $g'=e^x$):
$$I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\dx$$Seconda applicazione su $\int e^x\cos x\dx$ ($f=\cos x$, $g'=e^x$):
$$I = e^x\sin x - \left(e^x\cos x + \int e^x\sin x\dx\right) = e^x(\sin x - \cos x) - I$$Risolvo per $I$: $2I = e^x(\sin x-\cos x)$:
$$I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + c$$$f=\ln x$, $g'=x^{-2}$ $\Rightarrow$ $f'=\frac{1}{x}$, $g=-\frac{1}{x}$:
$$= -\frac{\ln x}{x} - \int\frac{1}{x}\cdot\!\left(-\frac{1}{x}\right)\dx = -\frac{\ln x}{x} + \int x^{-2}\dx = -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + c = -\frac{\ln x + 1}{x} + c$$Numeratore = derivata del denominatore
$$\int \frac{2x+3}{x^2+3x+1}\dx$$$(x^2+3x+1)' = 2x+3$. Forma $\frac{f'}{f}$:
$$= \ln|x^2+3x+1| + c$$$\Delta > 0$ — frazioni parziali
$$\int \frac{1}{x^2-1}\dx$$Radici: $x_1=1$, $x_2=-1$. Frazioni parziali:
$$\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1} \;\Rightarrow\; A=\tfrac{1}{2},\; B=-\tfrac{1}{2}$$ $$= \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1| + c = \frac{1}{2}\ln\!\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + c$$$\Delta < 0$ — completamento del quadrato
$$\int \frac{1}{x^2+4}\dx$$$x^2+4 = x^2+2^2$. Uso $\displaystyle\int\frac{1}{u^2+k^2}du = \frac{1}{k}\arctan\frac{u}{k}+c$ con $k=2$:
$$= \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2} + c$$$\Delta = 0$ — radice doppia
$$\int \frac{x+2}{(x+1)^2}\dx$$$x+2 = A(x+1)+B \Rightarrow A=1,\; B=1$:
$$= \int\!\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{(x+1)^2}\right)\dx = \ln|x+1| - \frac{1}{x+1} + c$$$(x^2+x-6)'=2x+1$. Forma $\frac{f'}{f}$:
$$= \ln|x^2+x-6| + c$$$\Delta=9-8=1>0$; radici $x_1=1$, $x_2=2$:
$$\frac{3x-1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}$$$A=3(1)-1=2$, $B=3(2)-1=5$. Verifica: $A(x-2)+B(x-1)=(A+B)x+(-2A-B)$; $A+B=3$, $-2A-B=-1$ $\Rightarrow$ $A=2,\,B=1$. (Sostituendo $x=1$: $A\cdot(-1)=2$; $x=2$: $B\cdot1=5$ — ricontrollo: $3(1)-1=2$, $A=-2$; $3(2)-1=5$, $B=5$.)
Frazioni parziali: $x=1 \Rightarrow (3-1)=A(1-2) \Rightarrow A=-2$. $x=2 \Rightarrow (6-1)=B(2-1) \Rightarrow B=5$.
$$= -2\ln|x-1| + 5\ln|x-2| + c$$$\Delta=4-20=-16<0$. Completo il quadrato:
$$x^2+2x+5 = (x+1)^2+4 = (x+1)^2+2^2$$Pongo $u=x+1$, $du=\dx$:
$$= \int\frac{du}{u^2+4} = \frac{1}{2}\arctan\frac{u}{2} + c = \frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2} + c$$Grado numeratore ($3$) $\geq$ grado denominatore ($2$): eseguo la divisione.
$$\frac{x^3}{x^2-1} = x + \frac{x}{x^2-1}$$Per $\frac{x}{x^2-1}$: frazioni parziali con $\Delta=4>0$, $x_1=1$, $x_2=-1$:
$$\frac{x}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1} \;\Rightarrow\; A=\tfrac{1}{2},\;B=\tfrac{1}{2}$$ $$= \int\!\left(x + \frac{1/2}{x-1}+\frac{1/2}{x+1}\right)\dx = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x+1| + c = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}\ln|x^2-1| + c$$